Phân phối Poisson là công cụ toán học dùng để ước lượng xác suất một đội ghi đúng 0, 1, 2, 3… bàn khi biết số bàn thắng trung bình mà họ thường ghi trong một trận. Nhân xác suất của hai đội với nhau, bạn có xác suất cho từng tỷ số cụ thể như 1-1 hay 2-0. Đây là mô hình đơn giản, tính được bằng máy tính cầm tay, rất hợp để hiểu bóng đá là trò chơi của những khả năng chứ không phải của sự chắc chắn. Toàn bộ số liệu dưới đây là giả định để minh họa.
Bắt đầu từ một con số: số bàn trung bình
Poisson mô tả số lần một sự kiện hiếm xảy ra trong một khoảng thời gian cố định, khi các lần xảy ra độc lập và có tốc độ trung bình ổn định. Bàn thắng trong bóng đá khá phù hợp với mô tả này: chúng ít, rời rạc và khó đoán thời điểm. Tham số duy nhất của mô hình là λ (đọc là “lam-đa”), tức số bàn trung bình kỳ vọng của một đội trong trận đang xét.
Công thức xác suất ghi đúng k bàn là P(k) = e-λ x λk / k!, trong đó e xấp xỉ 2.71828 và k! là giai thừa của k.
Ví dụ tính tay
Giả định Đội A có λ = 1.5 bàn và Đội B có λ = 1.0 bàn trong trận này.
Với Đội A: e-1.5 xấp xỉ 0.2231.
- P(0) = 0.2231
- P(1) = 0.2231 x 1.5 = 0.3347
- P(2) = 0.3347 x 1.5 / 2 = 0.2510
- P(3) = 0.2510 x 1.5 / 3 = 0.1255
- P(4) = 0.1255 x 1.5 / 4 = 0.0471
Với Đội B: e-1 xấp xỉ 0.3679, nên P(0) = 0.3679, P(1) = 0.3679, P(2) = 0.1839, P(3) = 0.0613, P(4) = 0.0153. Mẹo tính nhanh là mỗi giá trị sau bằng giá trị trước nhân λ rồi chia cho k.
Bảng xác suất 0 đến 4 bàn
| Số bàn | Đội A (λ = 1.5) | Đội B (λ = 1.0) |
|---|---|---|
| 0 | 22.3% | 36.8% |
| 1 | 33.5% | 36.8% |
| 2 | 25.1% | 18.4% |
| 3 | 12.6% | 6.1% |
| 4 | 4.7% | 1.5% |
| 5 bàn trở lên | 1.9% | 0.4% |
Cộng lại có thể lệch 0.1% do làm tròn. Điều đáng chú ý: ngay cả đội có kỳ vọng 1.5 bàn thì khả năng không ghi được bàn nào vẫn gần một phần tư. Đây là lý do những đội “tấn công tốt” vẫn có những trận trắng lưới.
Từ xác suất mỗi đội đến xác suất tỷ số
Giả định hai đội ghi bàn độc lập, xác suất tỷ số bằng tích hai xác suất. Ví dụ với tỷ số hòa 1-1: 0.3347 x 0.3679 = 0.1231, tức khoảng 12.3%. Tỷ số là 2-1 (A hơn B): 0.2510 x 0.3679 = 0.0923, khoảng 9.2%.
| Tỷ số (A-B) | Cách tính | Xác suất |
|---|---|---|
| 1-1 | 0.3347 x 0.3679 | 12.3% |
| 1-0 | 0.3347 x 0.3679 | 12.3% |
| 2-0 | 0.2510 x 0.3679 | 9.2% |
| 2-1 | 0.2510 x 0.3679 | 9.2% |
| 0-0 | 0.2231 x 0.3679 | 8.2% |
| 1-2 | 0.3347 x 0.1839 | 6.2% |
Tỷ số khả dĩ nhất chỉ đạt khoảng 12%, nghĩa là ngay cả kịch bản “phổ biến nhất” cũng xảy ra chưa đến một trong tám lần. Cộng các ô tương ứng, mô hình cho ra xấp xỉ: A thắng 48.8%, hòa 26.0%, B thắng 25.2%. Tổng bàn thắng của trận có λ = 2.5 (1.5 + 1.0), nên xác suất trận có từ ba bàn trở lên (tài 2.5) khoảng 45.6% và từ hai bàn trở xuống khoảng 54.4%.
Kiểm tra phép tính bằng cách cộng lại
Một thói quen tốt là cộng toàn bộ xác suất ở các ô để xem có gần bằng 1 hay không. Với Đội A, 0.2231 + 0.3347 + 0.2510 + 0.1255 + 0.0471 = 0.9814, phần còn lại 0.0186 chính là xác suất ghi từ năm bàn trở lên. Nếu tổng lệch xa, gần như chắc chắn bạn đã nhầm ở bước nhân hoặc chia giai thừa. Với “giá công bằng”, xác suất 12.3% của tỷ số là 1-1 tương ứng tỷ lệ khoảng 1 / 0.123 xấp xỉ 8.1.
Ước lượng λ từ đâu
Cách phổ biến là dùng sức tấn công và sức phòng ngự tương đối so với mức trung bình giải đấu. Ví dụ giả định trung bình giải là 1.4 bàn mỗi đội mỗi trận:
- Đội A ghi nhiều hơn trung bình 1.25 lần, Đội B thủng lưới ít hơn trung bình, chỉ bằng 0.86 lần. λ của A = 1.4 x 1.25 x 0.86 xấp xỉ 1.5.
- Đội B ghi bằng 0.90 lần trung bình, Đội A thủng lưới bằng 0.80 lần trung bình. λ của B = 1.4 x 0.90 x 0.80 xấp xỉ 1.0.
Các hệ số này lấy từ dữ liệu cả mùa hoặc một cửa sổ gần đây. Bạn có thể điều chỉnh nhẹ cho lợi thế sân nhà hay vắng mặt cầu thủ chủ chốt, nhưng mỗi điều chỉnh đều mang tính chủ quan và cần ghi lại.
Bạn có thể tự thử bằng cách đổi λ của Đội B từ 1.0 sang 1.3 và tính lại: xác suất B không ghi bàn giảm từ 36.8% xuống còn khoảng 27.3%, tức một thay đổi nhỏ ở đầu vào đã làm thay đổi đáng kể bức tranh.
Giới hạn của mô hình
- Giả định độc lập. Thực tế hai đội ảnh hưởng nhau: đội dẫn bàn có thể lùi sâu, đội thua phải dâng cao.
- Tốc độ ghi bàn không đổi. Thẻ đỏ, bàn mở tỷ số sớm hay thay người đổi hẳn nhịp độ trận.
- Dễ bỏ sót các tỷ số hòa thấp. Các mô hình mở rộng thường phải hiệu chỉnh riêng cho 0-0 và 1-1.
- Nhạy với đầu vào. Sai lệch nhỏ ở λ làm đổi cả bảng xác suất, và λ chính là phần khó ước lượng nhất.
- Mẫu dữ liệu nhỏ. Đầu mùa hay đội mới thăng hạng thì λ rất kém tin cậy.
Cũng cần nhớ rằng các hệ số tấn công/phòng ngự phụ thuộc chất lượng đối thủ đã gặp. Một đội ghi nhiều bàn vì toàn đá với nhóm cuối bảng sẽ có hệ số tấn công bị thổi phồng. Mô hình không tự biết điều đó, bạn phải tự điều chỉnh.
Poisson vì thế nên được xem là điểm khởi đầu để hiểu phân bố kết quả, không phải cỗ máy đoán tỷ số.
Lưu ý: Bài viết phục vụ mục đích học hỏi về xác suất, mọi số liệu là giả định, không phải dự báo cho trận đấu thực. Nội dung chỉ dành cho người từ 18 tuổi trở lên; không nên dùng một mô hình đơn lẻ làm căn cứ cho quyết định liên quan đến tiền bạc.